ガロア理論と有限体

体の代数拡大と、その自己同型のなす群（ガロア群）の対応を調べる理論。クラスタの中でも最も厚く書かれているテーマで、有限次から無限次（副有限群を経由）まで一貫した道具立てになっている。

体と体拡大

可換環に加え、零でない全ての元が乗法逆元を持つものが体。体準同型は必ず単射で、素体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の自己同型は恒等のみ。$L\supset K$ を体拡大 $L/K$ と書く。代表例 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$。

• 代数拡大: $L$ の任意の元が $K$ 係数方程式の解になる。
• 分離拡大: 各元の最小多項式 $\mathrm{Irr}(a,K)$ が重根を持たない（標数 0 の体・有限体は常に分離的）。
• 正規拡大: $K$ 上の最小多項式の根がすべて $L$ に入る。$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$ は正規だが $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]/\mathbb{Q}$ は $\omega \sqrt[3]{2}\notin \mathbb{R}$ なので非正規。

ガロア拡大と基本定理

分離かつ正規な拡大がガロア拡大で、このとき $\#\mathrm{Gal}(L/K)=[L:K]$。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ は $K$ を固定する $L$ の自己同型のなす群。ガロアの基本定理は、中間体の全体 $\mathcal{M}(L/K)$ と部分群の全体 $\mathcal{H}(G)$ の間に、包含を逆転する一対一対応
$H\mapsto L^H,M\mapsto \mathrm{Gal}(L/M)$
を与える。部分群 $G\subset \mathrm{Aut}(L)$ の不変体 $L^G=\{x\mid \sigma x=x(\forall \sigma )\}$ をとると $L/L^G$ はガロアで群は $G$。方程式の可解性は対応するガロア群の可解性に翻訳される。

有限体とフロベニウス写像

${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$、要素数 $q=p^n$ の体は同型を除き一意（$\cong {\mathbb{F}}_q$）で、${\mathbb{F}}_p[x]/(F)$（$F$ は $n$ 次既約）として構成できる。乗法群 ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ は巡回群（原始根の存在）。${\mathbb{F}}_{p^m}\subset {\mathbb{F}}_{p^n}\iff m\mid n$。

フロベニウス写像 ${\mathrm{Fr}}_p:x\mapsto x^p$ は $(a+b{)}^p=a^p+b^p$ により体同型（非自明な自己同型）になる。これが有限体のガロア群を生成し、
$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q)\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},{\mathrm{Fr}}_q\mapsto 1.$

絶対ガロア群と無限次への一般化

代数閉包 $\bar{K}$ に対する $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ が絶対ガロア群 $G_K$。有限体の場合
$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)\cong \hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
となる。無限次拡大では基本定理の素朴な対応が崩れる（部分群の方が多い）ため、Krull 位相を入れて閉部分群だけに制限すると全単射が回復する。この位相の正体が副有限群であり、フロベニウスの整数論的応用（ヴァイユ予想・エタールコホモロジー）へ繋がる。

関連: ring-and-module-theory / profinite-group / _moc-math