代数幾何とスキーム

多項式の零点として定まる図形を、環とイデアルの言葉で代数的に扱う分野。図形と環が反変的に対応するのが中心思想。

アフィン空間と代数的集合

体 $k$ 上の $n$ 次アフィン空間 ${\mathbb{A}}_k^n=k^n$。多項式 $f\in k[X_1,\dots ,X_n]$ の零点集合 $V(f)=\{P\mid f(P)=0\}$ が図形を定める（例 $X_1^2+X_2^2-1$ は円）。多項式の集合 $S$ に対する $V(S)$ が代数的集合で、これを閉集合とする位相がZariski位相。

代数的集合上の多項式関数 $\phi :W\to k$ 全体は環をなす。図形と環の対応：

• 既約な代数的集合（2 つに分解できない）= アフィン代数多様体 $\leftrightarrow$ 素イデアル
• 一点集合 $\leftrightarrow$ 極大イデアル

$W$ が既約 $\iff$ $I(W)$ が素イデアル、という命題がこの辞書の核心。

環のスペクトラムとアフィンスキーム

点を素イデアルに置き換えて、任意の環 $A$ に対し $\mathrm{Spec}(A)$（素イデアル全体）を定義し、$\mathcal{D}(f)=\{\mathfrak{p}\mid f\notin \mathfrak{p}\}$ が生成するZariski位相を入れる。これがアフィンスキームで、座標環がなくても「環＝幾何」を扱える枠組みになる。スキーム論は概型（scheme）の理論として代数幾何の現代的基礎を与える。

エタールコホモロジーとヴァイユ予想

通常の Zariski 位相は粗すぎてコホモロジーが乏しい。開埋め込み射をエタール射（有限型スキーム間の平坦かつ不分岐な射）に置き換えて細かい位相を作り、その上の層 $\mathcal{F}$ からエタールコホモロジー $H^i(X,\mathcal{F})$ を構成する。例 $H^0(X,{\mathbb{G}}_m)=k^{\ast }$、$H^1(X,{\mathbb{G}}_m)=\mathrm{Pic}(X)$。

動機はヴァイユ予想：${\mathbb{F}}_{p^e}$ 上の方程式 $y^2+x^2(x+1)=0$ の解の個数をフロベニウス写像の固定点として数える問題で、ドリーニュがエタールコホモロジーを用いて解決した。さらに進んだ話題として宇宙際タイヒミュラー理論（IUT）にも触れている。

関連: ring-and-module-theory / galois-theory / point-set-topology / _moc-math