古典群・行列群

雪江『群論入門』2.1, 2.3, 4.1（yukie-algebra-group-theory）。群論の具体例の大半は「行列のなす群」から来る。一般線形群を母体に、保たれる構造（行列式・内積・反対称形式・エルミート形式）で部分群を切り出すのが古典群の作り方。これらは正規部分群・群作用の標準的なテストベッドになる。

一般線形群とその部分群

母体は 一般線形群 $G L_{n} (R)$ （ $n \times n$ 正則行列全体、積について群）。 $G L_{n} (C)$ も同様。ここから保存量で部分群を定義する。

群	定義	保つ構造
特殊線形群 $S L_{n}$	$det g = 1$	体積（向き付き）
直交群 $O (n)$	$g^{T} g = I_{n}$	標準内積
特殊直交群 $S O (n)$	$O (n) \cap S L_{n}$	内積＋向き（回転）
シンプレクティック群 $S p_{2 n}$	$g^{T} J_{n} g = J_{n}$	反対称形式 $J_n=\begin{psmallmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{psmallmatrix}$
ユニタリ群 $U (n)$	$g^{} g = I_{n}$ （ $g^{} = \overset{g}{ˉ}^{T}$ ）	エルミート内積
特殊ユニタリ群 $S U (n)$	$U (n) \cap S L_{n} (C)$	エルミート＋向き
モジュラー群 $S L_{n} (Z)$	$G L_{n} (Z) \cap S L_{n} (R)$	整数格子

これらが群をなすことは、保存条件が積・逆元で閉じることを直接計算で確かめる（例: $(g h)^{T} J_{n} (g h) = h^{T} (g^{T} J_{n} g) h = h^{T} J_{n} h = J_{n}$ ）。整数係数の $G L_{n} (Z)$ では逆行列が余因子行列 $A^{- 1} = \frac{1}{d e t g} \tilde{A}$ から整数になるため $det h = \pm 1$ が単元条件になる。

包含と正規性

包含写像 $O (n) ↪ G L_{n} (R)$ などは準同型。行列式準同型 $det : G L_{n} \to R^{\times}$ の核が $S L_{n}$ なので
$S L_{n} (R) ◃ G L_{n} (R), G L_{n} / S L_{n} ≅ R^{\times} .$
同様に $det : O (n) \to {\pm 1}$ の核が $S O (n)$ で $(O (n) : S O (n)) = 2$ 。 $g \in O (n)$ は $det g = \pm 1$ （ $g^{T} g = I$ から $(det g)^{2} = 1$ ）。これは準同型定理の典型的な応用。

二面体群

正 $n$ 角形 $P_{n}$ （頂点 $A_{1} = [1, 0], \dots, A_{n}$ ）を保つ $O (2)$ の部分群が 二面体群 $D_{n} = {g \in O (2) ∣ g P_{n} = P_{n}}$ 。回転 $t = R_{2 π / n}$ と鏡映 $r$ で生成され、
$t^{n} = 1, r^{2} = 1, r t r = t^{- 1}$
という関係を満たす（ $r$ で挟むと回転の向きが逆転）。元は ${1, t, \dots, t^{n - 1}, r, r t, \dots, r t^{n - 1}}$ の $2 n$ 個で、 $r t^{i}$ はすべて位数2の鏡映。回転 $t^{i}$ は $det = 1$ 、鏡映は $det = - 1$ で区別される。 $S O (2) = {R_{θ} ∣ θ \in R}$ は平面の回転全体。

四元数群・その他

四元数: $i=\begin{psmallmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&\sqrt{-1}\end{psmallmatrix}$ , $j=\begin{psmallmatrix}0&1\\-1&0\end{psmallmatrix}$ , $k=\begin{psmallmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{psmallmatrix}$ が生成するハミルトンの四元数群 $Q_{8}$ は位数8の非可換群（クラインの四元群とは別物）。
置換行列 $P_{σ}$ （ $(σ (i), i)$ 成分が1）は $S_{n} \to G L_{n} (R)$ の単射準同型を与え、 $P_{σ} P_{τ} = P_{σ τ}$ 。これがケーリーの定理（任意の有限群は対称群に埋め込める）の行列版。像は $G L_{n}$ の Weyl 群。

群作用としての視点

$G \leq G L_{n} (R)$ は $R^{n}$ に線形に作用する（準同型 $ρ : G \to G L (V)$ が 群の表現）。 $S O (2)$ の $R^{2}$ への作用は軌道が同心円 $C_{a} = {x^{2} + y^{2} = a^{2}}$ （等質空間）、原点以外の点の安定化群は自明。こうした作用の軌道・安定化群の解析が軌道・安定化群定理へつながる。表現論・ガロア理論の対称性の言葉もここが出発点。

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古典群・行列群（線形・直交・シンプレクティック・ユニタリ・二面体群）

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