副有限群と逆極限

有限群の射影極限として得られる位相群。無限次ガロア理論と位相・環論の交差点にあり、このクラスタで何度も再登場する。

逆系と逆極限

有向順序集合 $(I,\le )$ で添字づけられた群の族 $(A_i)$ と、$i\le j$ で $f_{ij}:A_j\to A_i$（$f_{ii}=\mathrm{id}$、$f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$）が整合する組を逆系という。その**逆極限（射影極限）**は直積の部分群
$\underleftarrow{\lim }{A}_i=\{(a_i)\in \prod A_i|a_i=f_{ij}(a_j)\}$
で、自然な射影 ${\pi }_i:\underleftarrow{\lim }{A}_i\to A_i$ を備える。

副有限群

有限群の逆極限になる位相群が副有限群（射有限群、profinite group）。各 $A_i$ に離散位相、極限に誘導位相を入れる。同値な特徴づけ：位相がコンパクト・ハウスドルフ・完全不連結。正規開部分群が単位元の基本近傍系を与える。コンパクト性はTychonoffの定理から従う。

代表例は
$\hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},{\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}(\text{[[p進整数]]})$
で、いずれもコンパクト位相環の加法群として副有限。

無限次ガロア理論への応用

有限次ガロア拡大では中間体と部分群が一対一対応するが、無限次では破綻する。例：$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)$ は絶対ガロア群として
$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)\cong \hat{\mathbb{Z}}$
となり、$\mathbb{Z}$ と $\hat{\mathbb{Z}}$ がどちらも固定体 ${\mathbb{F}}_p$ を与えるため素朴な対応が単射でない。そこで Krull 位相（副有限位相）を入れ、閉部分群だけに制限すると中間体との全単射が回復する。これが無限次ガロア理論の主定理。なお位相群でも演算が $C^{\infty }$ ならLie群という別系列になる。

関連: galois-theory / point-set-topology / ring-and-module-theory / _moc-math