位相空間論

距離空間を一般化し、「近さ」を開集合だけで記述する枠組み。無限次ガロア理論・代数幾何・副有限群に共通の土台。

位相空間

集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal{O}$ が、$\varnothing ,X\in \mathcal{O}$・有限交叉・任意和で閉じる（開集合系の公理）とき $(X,\mathcal{O})$ を位相空間という。距離空間 $(X,d)$（正値性・非退化・対称性・三角不等式）はその特別な場合。

• 位相の強弱: ${\mathcal{O}}_1\subset {\mathcal{O}}_2$ なら ${\mathcal{O}}_1$ が弱い。密着位相 $\{\varnothing ,X\}$ が最弱、離散位相 $2^X$ が最強。
• 生成位相: 部分集合族 $\mathcal{S}$ を含む最弱の位相。
• 誘導位相 / 基本近傍系: 連続写像から定まる位相、各点の近傍を生成する系。

分離公理と収束

点を近傍でどこまで切り分けられるかを測る階層が $T_n$：

• $T_0$: 2 点のどちらか一方だけを含む近傍がある
• $T_1$: 互いに相手を含まない近傍がそれぞれある
• $T_2$（ハウスドルフ）: 交わらない近傍で 2 点を分離できる

$n$ が大きいほど分離度が高い。点列 $\{x_n\}\to x$ は「任意の近傍 $U\ni x$ にある $N$ 以降が入る」。密着位相では収束が一意でなく、近傍分離があれば収束は一意になる。

コンパクト性とTychonoffのProduct

任意の開被覆が有限部分被覆を持つときコンパクト。$\mathbb{R}$ は非コンパクト、$[0,1]$ はコンパクト。Tychonoffの定理：コンパクト空間の積はコンパクト。これは逆系のコンパクト副有限群がコンパクトであることの証明に使われる。完全不連結（各点の連結成分が一点）な空間（p進整数全体、射有限群）も位相群論で重要。

代数構造つき位相空間

• 位相群: 群演算 $ab$ と逆元 $a^{-1}$ が連続。離散位相を入れると離散群。
• 位相環 / 位相体: 和で位相群かつ積が連続な環／距離空間の完備化・付値から得る体。
• バナッハ空間（完備ノルム空間）など関数解析の対象、測度・ルベーグ積分もここに接続する。

関連: profinite-group / algebraic-geometry-schemes / _moc-math