公理的集合論と基礎論

数学全体を集合の言葉で基礎づける公理系と、そこから導かれる独立性・順序構造の話題。

ZF と ZFC

ZF 公理系は一般的に使われる公理系で、述語のドメインは類(class)（すべての集合を集めたもの）。主な公理：

• 外延性（含む元が全て等しい集合は等しい）
• 空集合・無限集合の存在
• 対・和・冪・置換（既存の集合から新しい集合を作る）
• 正則性（パラドクス回避）

これに選択公理を加えたものが ZFC。選択公理は「空でない集合族から各々一つずつ選んで集合を作れる」＝ $\forall \lambda [A_{\lambda }\ne \varnothing ]\Rightarrow \prod A_{\lambda }\ne \varnothing$。

選択公理と同値な命題

• Zornの補題：全順序部分集合が常に上界を持つ順序集合（Zorn集合）には極大元が存在する。極大元を持たないと仮定して矛盾を導く形で証明する。
• 整列可能定理

これらは選択公理と同値で、代数閉包の存在など多くの存在証明の根拠になる。

独立性

連続体仮説は「可算濃度と連続体濃度の間に他の濃度が無い」とする主張で、ZFC からは証明も反証もできない（公理系から独立）。宇宙（Grothendieck universe）はサイズの問題を回避するための大きな集合の枠組み。

順序構造と測度

• 順序集合を図示するハッセ図、join $\vee$ で閉じた join semilattice など順序理論の道具。
• 可測空間（$\sigma$ 加法族）と測度は確率の基礎であり、確率論・ベイズ統計へ接続する。

関連: mathematical-logic / bayesian-statistics / _moc-math