環論と加群

足し算と掛け算が定まった世界（環）と、その上の線形構造（加群）を扱う代数の基盤。ガロア理論や代数幾何の共通言語になっている。

環・イデアル・剰余環

環 $(R,+,\cdot ,0,1)$ は和についてアーベル群、積について結合・単位元・分配法則を満たす。積も可換なら可換環。代表例 $\mathbb{Z},\mathbb{R}[x]$。

イデアル $I\subset R$ は加法部分群かつ $x\in R,a\in I\Rightarrow xa\in I$。倍数集合 $(p)=p\mathbb{Z}$ が典型。

• 素イデアル $\mathfrak{p}$: $xy\in \mathfrak{p}\Rightarrow x\in \mathfrak{p}$ または $y\in \mathfrak{p}$。$R=\mathbb{Z}$ では素数と同義（$6\mathbb{Z}$ は非素）。
• 極大イデアル: $I⊊R$ で間に真のイデアルが無い。極大 $\Rightarrow$ 素。$\mathbb{Z}$ では $(p)$ が両方を満たす。

差が $I$ に入る元をまとめた $R/I=\{a+I\}$ が剰余環で、自然な環構造を持つ。イデアル対応定理により $I$ を含む $R$ のイデアルと $R/I$ のイデアルが 1 対 1 対応し、環の内部構造を簡約して調べられる。

加群

$A$-加群は、アーベル群 $(M,+)$ にスカラー倍 $A\times M\to M$ が分配・結合的に作用するもの。環が体なら加群はベクトル空間に一致し、加群はその一般化。部分加群は環自身を加群と見たときイデアルに対応する。

差が部分加群 $N$ に入る元をまとめて商加群 $M/N$。準同型 $f:M\to N$ に対し核 $\ker f$、像 $\mathrm{Im}f$ を定め、

$M/\ker f\cong \mathrm{Im}f(\text{準同型定理})$

が成り立つ。これは群でも同形に成立する（準同型定理）。

完全列と直和・直積

加群の系列 $\cdots \to M_i\stackrel{f_i}{\to }{M}_{i+1}\to \cdots$ が完全とは常に $\mathrm{Im}{f}_i=\ker f_{i+1}$ となること。$f$ が単射 $\iff 0\to M\to N$ が完全。余核 $\mathrm{Cok}f=N/\mathrm{Im}f$ も定義される。

加群族 $(M_{\lambda })$ に対し直和 $⨁M_{\lambda }$（包含 $i_{\lambda }$ つき）と直積 $\prod M_{\lambda }$（射影 $p_{\lambda }$ つき）は普遍性で特徴づけられ互いに双対。${\mathrm{Hom}}_A(⨁L_t,M)\cong ⨁{\mathrm{Hom}}_A(L_t,M)$ や分裂補題（split mono/epi、$M\cong L\oplus N$）が重要な道具になる。

周辺概念

• 普遍性: 「構成より機能」。$M/N$ を加群 $M/N$ ではなく射 $\phi :M\to M/N$ の組として捉える。
• 局所化: $S$ の逆元を人工的に加えて大きい環を作る、分数の一般化。
• semiring: 環から負元を除いたもの。
• 付値: 環 $R$ から順序加群への $v(xy)=v(x)+v(y)$ を満たす写像で、位相体の完備化に使う。
• p進整数 ${\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は剰余環の逆極限として現れる。

関連: galois-theory / algebraic-geometry-schemes / category-theory / _moc-math