正規部分群・剰余群・群の直積

雪江『群論入門』2.8〜2.9（yukie-algebra-group-theory）。部分群 $H \leq G$ の剰余類 $G / H$ が「群」になる条件を与えるのが正規部分群であり、商群の構造と準同型定理の土台になる。複数の概念ページから参照されるハブ。

正規部分群

部分群 $H \leq G$ が
$\forall g \in G, \forall h \in H, g h g^{- 1} \in H (\Leftrightarrow g H g^{- 1} = H \Leftrightarrow g H = H g)$
を満たすとき 正規部分群 といい $H ◃ G$ と書く。直観は「共役で動かしても外に出ない＝左右の剰余類が一致する」部分群。

代表例:

アーベル群の任意の部分群（ $g h g^{- 1} = h$ ）。
準同型の核 $ker ϕ ◃ G_{1}$ （ $ϕ (g h g^{- 1}) = ϕ (g) ϕ (h) ϕ (g)^{- 1} = 1$ ）。これが正規部分群の最重要な供給源。
$S L_{n} ◃ G L_{n}$ （ $= ker (det)$ ）、交代群 $A_{n} = ker (sgn) ◃ S_{n}$ 。

生成元による判定: $G = ⟨ S ⟩$ , $N = ⟨ T ⟩$ のとき、 $\forall x \in S, y \in T$ で $x y x^{- 1}, x^{- 1} y x \in N$ なら $N ◃ G$ 。正規性のチェックは生成元だけ見ればよい（無限群では $x^{- 1} y x$ 側も要確認）。系として、 $S$ を含む最小の正規部分群は $⟨{x y x^{- 1} ∣ x \in G, y \in S}⟩$ （正規閉包）。

例: $G = S_{3}$ , $N = ⟨(123)⟩$ 。 $(12) (123) (12) = (132) = (123)^{2} \in N$ なので $N ◃ G$ 。

剰余群（商群）

$N ◃ G$ のとき、剰余類の集合 $G / N$ に積
$(g N) (h N) = g h N$
を入れると well-defined になる（ $g^{'} = g n, h^{'} = h n^{'}$ に対し $h^{- 1} nh \in N$ を使うと代表元によらない）。これで $G / N$ は群となり、 $G$ の $N$ による 剰余群（商群） と呼ぶ。

自然な写像 $π : G \to G / N, g \mapsto g N$ は全射群準同型で $ker π = N$ 。
逆に「商が群になる」⟺「 $N$ が正規」であり、正規性と剰余群はコインの裏表。
例: $Z / n Z$ （ $n Z ◃ Z$ はイデアルでもある）。 $S_{3} / ⟨(123)⟩ ≅ Z /2 Z$ （指数2の部分群は常に正規）。

この構成が\ker\phi\cong\mathrm{im}\,\phi$ に直結する。可解群・べき零群の定義に現れる剰余列 $G_{i} / G_{i + 1}$ も剰余群（→solvable-nilpotent-groups）。

群の直積

群の族 ${G_{i}}_{i \in I}$ の直積 $G = \prod_{i} G_{i}$ は成分ごとの積で群になる。

$G_{1} \times G_{2}$ の中で $G_{1}$ の元と $G_{2}$ の元は可換（ $(g_{1}, 1) (1, g_{2}) = (1, g_{2}) (g_{1}, 1)$ ）。
$G_{1}, G_{2}$ はともに $G_{1} \times G_{2}$ の正規部分群。

内部直積の判定: $H, K ◃ G$ , $H \cap K = {1}$ , $H K = G$ なら $G ≅ H \times K$ 。写像 $(h, k) \mapsto hk$ が同型で、交換子 $hk h^{- 1} k^{- 1} \in H \cap K = {1}$ から $H, K$ の元が可換になるのが鍵。正規性を片方に緩めると半直積 $G = N ⋊ H$ になる（ $H N = N H$ , $H \cap N = {1}$ だが直積とは限らない）。

中国剰余定理（群論版）

$g cd (m, n) = 1$ なら
$Z / mn Z ≅ Z / m Z \times Z / n Z .$
$ϕ (x + mn Z) = (x + m Z, x + n Z)$ は well-defined な準同型で、 $ma + nb = 1$ を使って全射、位数が等しいので同型。指数2の部分群の決定（ $G /2 G$ の解析）など、有限アーベル群の構造解析の基本道具。環論では環同型としても成立する。

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正規部分群・剰余群・群の直積

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