抽象代数（群・環・体）

細かい話題を束ねた概念ページ。各節は元は独立ページだった。

正規部分群・剰余群・群の直積

雪江『群論入門』2.8〜2.9（yukie-algebra-group-theory）。部分群 $H\le G$ の剰余類 $G/H$ が「群」になる条件を与えるのが正規部分群であり、商群の構造と準同型定理の土台になる。複数の概念ページから参照されるハブ。

正規部分群

部分群 $H\le G$ が
$\forall g\in G,\forall h\in H,gh{g}^{-1}\in H(\iff gH{g}^{-1}=H\iff gH=Hg)$
を満たすとき 正規部分群 といい $H◃G$ と書く。直観は「共役で動かしても外に出ない＝左右の剰余類が一致する」部分群。

代表例:

• アーベル群の任意の部分群（$gh{g}^{-1}=h$）。
• 準同型の核 $\ker \varphi ◃G_1$（$\varphi (gh{g}^{-1})=\varphi (g)\varphi (h)\varphi (g{)}^{-1}=1$）。これが正規部分群の最重要な供給源。
• $S{L}_n◃G{L}_n$（$=\ker (\det )$）、交代群 $A_n=\ker (\mathrm{sgn})◃S_n$。

生成元による判定: $G=⟨S⟩$, $N=⟨T⟩$ のとき、$\forall x\in S,y\in T$ で $xy{x}^{-1},x^{-1}yx\in N$ なら $N◃G$。正規性のチェックは生成元だけ見ればよい（無限群では $x^{-1}yx$ 側も要確認）。系として、$S$ を含む最小の正規部分群は $⟨\{xy{x}^{-1}\mid x\in G,y\in S\}⟩$（正規閉包）。

例: $G=S_3$, $N=⟨(123)⟩$。$(12)(123)(12)=(132)=(123{)}^2\in N$ なので $N◃G$。

剰余群（商群）

$N◃G$ のとき、剰余類の集合 $G/N$ に積
$(gN)(hN)=ghN$
を入れると well-defined になる（$g^{\prime }=gn,h^{\prime }=h{n}^{\prime }$ に対し $h^{-1}nh\in N$ を使うと代表元によらない）。これで $G/N$ は群となり、$G$ の $N$ による 剰余群（商群） と呼ぶ。

• 自然な写像 $\pi :G\to G/N,g\mapsto gN$ は全射群準同型で $\ker \pi =N$。
• 逆に「商が群になる」⟺「$N$ が正規」であり、正規性と剰余群はコインの裏表。
• 例: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$n\mathbb{Z}◃\mathbb{Z}$ はイデアルでもある）。$S_3/⟨(123)⟩\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（指数2の部分群は常に正規）。

この構成が\ker\phi\cong\mathrm{im}\,\phi$ に直結する。可解群・べき零群の定義に現れる剰余列 $G_i/G_{i+1}$ も剰余群（→solvable-nilpotent-groups）。

群の直積

群の族 $\{G_i{\}}_{i\in I}$ の直積 $G={\prod }_i{G}_i$ は成分ごとの積で群になる。

• $G_1\times G_2$ の中で $G_1$ の元と $G_2$ の元は可換（$(g_1,1)(1,g_2)=(1,g_2)(g_1,1)$）。
• $G_1,G_2$ はともに $G_1\times G_2$ の正規部分群。

内部直積の判定: $H,K◃G$, $H\cap K=\{1\}$, $HK=G$ なら $G\cong H\times K$。写像 $(h,k)\mapsto hk$ が同型で、交換子 $hk{h}^{-1}{k}^{-1}\in H\cap K=\{1\}$ から $H,K$ の元が可換になるのが鍵。正規性を片方に緩めると半直積 $G=N⋊H$ になる（$HN=NH$, $H\cap N=\{1\}$ だが直積とは限らない）。

中国剰余定理（群論版）

$\gcd (m,n)=1$ なら
$\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$
$\varphi (x+mn\mathbb{Z})=(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})$ は well-defined な準同型で、$ma+nb=1$ を使って全射、位数が等しいので同型。指数2の部分群の決定（$G/2G$ の解析）など、有限アーベル群の構造解析の基本道具。環論では環同型としても成立する。

関連

• group-isomorphism-theorems / lagrange-fermat-cosets / solvable-nilpotent-groups / group-action-orbit-stabilizer
• abstract-algebra（$S{L}_n◃G{L}_n$ など具体例の宝庫）
• yukie-algebra-group-theory / _moc-math

副有限群と逆極限

有限群の射影極限として得られる位相群。無限次ガロア理論と位相・環論の交差点にあり、このクラスタで何度も再登場する。

逆系と逆極限

有向順序集合 $(I,\le )$ で添字づけられた群の族 $(A_i)$ と、$i\le j$ で $f_{ij}:A_j\to A_i$（$f_{ii}=\mathrm{id}$、$f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$）が整合する組を逆系という。その**逆極限（射影極限）**は直積の部分群
$\underleftarrow{\lim }{A}_i=\{(a_i)\in \prod A_i|a_i=f_{ij}(a_j)\}$
で、自然な射影 ${\pi }_i:\underleftarrow{\lim }{A}_i\to A_i$ を備える。

副有限群

有限群の逆極限になる位相群が副有限群（射有限群、profinite group）。各 $A_i$ に離散位相、極限に誘導位相を入れる。同値な特徴づけ：位相がコンパクト・ハウスドルフ・完全不連結。正規開部分群が単位元の基本近傍系を与える。コンパクト性はTychonoffの定理から従う。

代表例は
$\hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},{\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}(\text{[[p進整数]]})$
で、いずれもコンパクト位相環の加法群として副有限。

無限次ガロア理論への応用

有限次ガロア拡大では中間体と部分群が一対一対応するが、無限次では破綻する。例：$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)$ は絶対ガロア群として
$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)\cong \hat{\mathbb{Z}}$
となり、$\mathbb{Z}$ と $\hat{\mathbb{Z}}$ がどちらも固定体 ${\mathbb{F}}_p$ を与えるため素朴な対応が単射でない。そこで Krull 位相（副有限位相）を入れ、閉部分群だけに制限すると中間体との全単射が回復する。これが無限次ガロア理論の主定理。なお位相群でも演算が $C^{\infty }$ ならLie群という別系列になる。

関連: abstract-algebra / point-set-topology / abstract-algebra / _moc-math

古典群・行列群（線形・直交・シンプレクティック・ユニタリ・二面体群）

雪江『群論入門』2.1, 2.3, 4.1（yukie-algebra-group-theory）。群論の具体例の大半は「行列のなす群」から来る。一般線形群を母体に、保たれる構造（行列式・内積・反対称形式・エルミート形式）で部分群を切り出すのが古典群の作り方。これらは正規部分群・群作用の標準的なテストベッドになる。

一般線形群とその部分群

母体は 一般線形群 $G{L}_n(\mathbb{R})$（$n\times n$ 正則行列全体、積について群）。$G{L}_n(\mathbb{C})$ も同様。ここから保存量で部分群を定義する。

群	定義	保つ構造
特殊線形群 $S{L}_n$	$\det g=1$	体積（向き付き）
直交群 $O(n)$	$g^{T}g=I_n$	標準内積
特殊直交群 $SO(n)$	$O(n)\cap S{L}_n$	内積＋向き（回転）
シンプレクティック群 $S{p}_{2n}$	$g^T{J}_{n}g=J_n$	反対称形式 J_n=\begin{psmallmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{psmallmatrix}
ユニタリ群 $U(n)$	$g^{\ast }g=I_n$（$g^{\ast }={\bar{g}}^T$）	エルミート内積
特殊ユニタリ群 $SU(n)$	$U(n)\cap S{L}_n(\mathbb{C})$	エルミート＋向き
モジュラー群 $S{L}_n(\mathbb{Z})$	$G{L}_n(\mathbb{Z})\cap S{L}_n(\mathbb{R})$	整数格子

これらが群をなすことは、保存条件が積・逆元で閉じることを直接計算で確かめる（例: $(gh{)}^T{J}_n(gh)=h^T(g^T{J}_{n}g)h=h^T{J}_{n}h=J_n$）。整数係数の $G{L}_n(\mathbb{Z})$ では逆行列が余因子行列 $A^{-1}=\frac{1}{\det g}\tilde{A}$ から整数になるため $\det h=\pm 1$ が単元条件になる。

包含と正規性

包含写像 $O(n)\hookrightarrow G{L}_n(\mathbb{R})$ などは準同型。行列式準同型 $\det :G{L}_n\to {\mathbb{R}}^{\times }$ の核が $S{L}_n$ なので
$S{L}_n(\mathbb{R})◃G{L}_n(\mathbb{R}),G{L}_n/S{L}_n\cong {\mathbb{R}}^{\times }.$
同様に $\det :O(n)\to \{\pm 1\}$ の核が $SO(n)$ で $(O(n):SO(n))=2$。$g\in O(n)$ は $\det g=\pm 1$（$g^{T}g=I$ から $(\det g{)}^2=1$）。これは準同型定理の典型的な応用。

二面体群

正 $n$ 角形 $P_n$（頂点 $A_1=[1,0],\dots ,A_n$）を保つ $O(2)$ の部分群が 二面体群 $D_n=\{g\in O(2)\mid g{P}_n=P_n\}$。回転 $t=R_{2\pi /n}$ と鏡映 $r$ で生成され、
$t^n=1,r^2=1,rtr=t^{-1}$
という関係を満たす（$r$ で挟むと回転の向きが逆転）。元は $\{1,t,\dots ,t^{n-1},r,rt,\dots ,r{t}^{n-1}\}$ の $2n$ 個で、$r{t}^i$ はすべて位数2の鏡映。回転 $t^i$ は $\det =1$、鏡映は $\det =-1$ で区別される。$SO(2)=\{R_{\theta }\mid \theta \in \mathbb{R}\}$ は平面の回転全体。

四元数群・その他

• 四元数: i=\begin{psmallmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&\sqrt{-1}\end{psmallmatrix}, j=\begin{psmallmatrix}0&1\\-1&0\end{psmallmatrix}, k=\begin{psmallmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{psmallmatrix} が生成するハミルトンの四元数群 $Q_8$ は位数8の非可換群（クラインの四元群とは別物）。
• 置換行列 $P_{\sigma }$（$(\sigma (i),i)$ 成分が1）は $S_n\to G{L}_n(\mathbb{R})$ の単射準同型を与え、$P_{\sigma }{P}_{\tau }=P_{\sigma \tau }$。これがケーリーの定理（任意の有限群は対称群に埋め込める）の行列版。像は $G{L}_n$ の Weyl 群。

群作用としての視点

$G\le G{L}_n(\mathbb{R})$ は ${\mathbb{R}}^n$ に線形に作用する（準同型 $\rho :G\to GL(V)$ が 群の表現）。$SO(2)$ の ${\mathbb{R}}^2$ への作用は軌道が同心円 $C_a=\{x^2+y^2=a^2\}$（等質空間）、原点以外の点の安定化群は自明。こうした作用の軌道・安定化群の解析が軌道・安定化群定理へつながる。表現論・ガロア理論の対称性の言葉もここが出発点。

関連

• abstract-algebra / group-isomorphism-theorems / group-action-orbit-stabilizer / symmetric-group-conjugacy-classes
• yukie-algebra-group-theory / _moc-math

ガロア理論と有限体

体の代数拡大と、その自己同型のなす群（ガロア群）の対応を調べる理論。クラスタの中でも最も厚く書かれているテーマで、有限次から無限次（副有限群を経由）まで一貫した道具立てになっている。

体と体拡大

可換環に加え、零でない全ての元が乗法逆元を持つものが体。体準同型は必ず単射で、素体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の自己同型は恒等のみ。$L\supset K$ を体拡大 $L/K$ と書く。代表例 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$。

• 代数拡大: $L$ の任意の元が $K$ 係数方程式の解になる。
• 分離拡大: 各元の最小多項式 $\mathrm{Irr}(a,K)$ が重根を持たない（標数 0 の体・有限体は常に分離的）。
• 正規拡大: $K$ 上の最小多項式の根がすべて $L$ に入る。$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$ は正規だが $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]/\mathbb{Q}$ は $\omega \sqrt[3]{2}\notin \mathbb{R}$ なので非正規。

ガロア拡大と基本定理

分離かつ正規な拡大がガロア拡大で、このとき $\#\mathrm{Gal}(L/K)=[L:K]$。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ は $K$ を固定する $L$ の自己同型のなす群。ガロアの基本定理は、中間体の全体 $\mathcal{M}(L/K)$ と部分群の全体 $\mathcal{H}(G)$ の間に、包含を逆転する一対一対応
$H\mapsto L^H,M\mapsto \mathrm{Gal}(L/M)$
を与える。部分群 $G\subset \mathrm{Aut}(L)$ の不変体 $L^G=\{x\mid \sigma x=x(\forall \sigma )\}$ をとると $L/L^G$ はガロアで群は $G$。方程式の可解性は対応するガロア群の可解性に翻訳される。

有限体とフロベニウス写像

${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$、要素数 $q=p^n$ の体は同型を除き一意（$\cong {\mathbb{F}}_q$）で、${\mathbb{F}}_p[x]/(F)$（$F$ は $n$ 次既約）として構成できる。乗法群 ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ は巡回群（原始根の存在）。${\mathbb{F}}_{p^m}\subset {\mathbb{F}}_{p^n}\iff m\mid n$。

フロベニウス写像 ${\mathrm{Fr}}_p:x\mapsto x^p$ は $(a+b{)}^p=a^p+b^p$ により体同型（非自明な自己同型）になる。これが有限体のガロア群を生成し、
$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q)\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},{\mathrm{Fr}}_q\mapsto 1.$

絶対ガロア群と無限次への一般化

代数閉包 $\bar{K}$ に対する $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ が絶対ガロア群 $G_K$。有限体の場合
$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)\cong \hat{\mathbb{Z}}=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
となる。無限次拡大では基本定理の素朴な対応が崩れる（部分群の方が多い）ため、Krull 位相を入れて閉部分群だけに制限すると全単射が回復する。この位相の正体が副有限群であり、フロベニウスの整数論的応用（ヴァイユ予想・エタールコホモロジー）へ繋がる。

関連: abstract-algebra / abstract-algebra / _moc-math

環論と加群

足し算と掛け算が定まった世界（環）と、その上の線形構造（加群）を扱う代数の基盤。ガロア理論や代数幾何の共通言語になっている。

環・イデアル・剰余環

環 $(R,+,\cdot ,0,1)$ は和についてアーベル群、積について結合・単位元・分配法則を満たす。積も可換なら可換環。代表例 $\mathbb{Z},\mathbb{R}[x]$。

イデアル $I\subset R$ は加法部分群かつ $x\in R,a\in I\Rightarrow xa\in I$。倍数集合 $(p)=p\mathbb{Z}$ が典型。

• 素イデアル $\mathfrak{p}$: $xy\in \mathfrak{p}\Rightarrow x\in \mathfrak{p}$ または $y\in \mathfrak{p}$。$R=\mathbb{Z}$ では素数と同義（$6\mathbb{Z}$ は非素）。
• 極大イデアル: $I⊊R$ で間に真のイデアルが無い。極大 $\Rightarrow$ 素。$\mathbb{Z}$ では $(p)$ が両方を満たす。

差が $I$ に入る元をまとめた $R/I=\{a+I\}$ が剰余環で、自然な環構造を持つ。イデアル対応定理により $I$ を含む $R$ のイデアルと $R/I$ のイデアルが 1 対 1 対応し、環の内部構造を簡約して調べられる。

加群

$A$-加群は、アーベル群 $(M,+)$ にスカラー倍 $A\times M\to M$ が分配・結合的に作用するもの。環が体なら加群はベクトル空間に一致し、加群はその一般化。部分加群は環自身を加群と見たときイデアルに対応する。

差が部分加群 $N$ に入る元をまとめて商加群 $M/N$。準同型 $f:M\to N$ に対し核 $\ker f$、像 $\mathrm{Im}f$ を定め、

$M/\ker f\cong \mathrm{Im}f(\text{準同型定理})$

が成り立つ。これは群でも同形に成立する（準同型定理）。

完全列と直和・直積

加群の系列 $\cdots \to M_i\stackrel{f_i}{\to }{M}_{i+1}\to \cdots$ が完全とは常に $\mathrm{Im}{f}_i=\ker f_{i+1}$ となること。$f$ が単射 $\iff 0\to M\to N$ が完全。余核 $\mathrm{Cok}f=N/\mathrm{Im}f$ も定義される。

加群族 $(M_{\lambda })$ に対し直和 $⨁M_{\lambda }$（包含 $i_{\lambda }$ つき）と直積 $\prod M_{\lambda }$（射影 $p_{\lambda }$ つき）は普遍性で特徴づけられ互いに双対。${\mathrm{Hom}}_A(⨁L_t,M)\cong ⨁{\mathrm{Hom}}_A(L_t,M)$ や分裂補題（split mono/epi、$M\cong L\oplus N$）が重要な道具になる。

周辺概念

• 普遍性: 「構成より機能」。$M/N$ を加群 $M/N$ ではなく射 $\phi :M\to M/N$ の組として捉える。
• 局所化: $S$ の逆元を人工的に加えて大きい環を作る、分数の一般化。
• semiring: 環から負元を除いたもの。
• 付値: 環 $R$ から順序加群への $v(xy)=v(x)+v(y)$ を満たす写像で、位相体の完備化に使う。
• p進整数 ${\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は剰余環の逆極限として現れる。

関連: abstract-algebra / algebraic-geometry-schemes / category-theory / _moc-math