p進整数

定義

$p$進整数${\mathbb{Z}}_p$とは, 剰余環

$$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}(n=1,2,3,\cdots )$$

と自然な全射

$$f_n:\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$

の系列

$$\cdots \stackrel{f_4}{\twoheadrightarrow }\mathbb{Z}/p^4\mathbb{Z}\stackrel{f_3}{\twoheadrightarrow }\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}\stackrel{f_2}{\twoheadrightarrow }\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\stackrel{f_1}{\twoheadrightarrow }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$

があるとき, 積集合

$$\prod _{1\le n}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$

の以下のような部分集合を$p$進整数と呼ぶ.

$${\mathbb{Z}}_p:={\stackrel{\lim }{\to }}_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{(a_n{)}_{1\le n}\in \prod _{1\le n}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\mid \forall n\in \mathbb{N},f_n(a_{n+1})=a_n\}$$

例

${\mathbb{Z}}_5$
各$a_n$が何番目に位置するかが$n$番目の桁の値になる. 先の例だと$r=0\cdots 12310$

$$r=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{p}^{n-1}$$

普通は無限桁になるが${}^{\exists }n$桁目まですべて0だと10進数表記の$p$進数表記と同じになる.ので

$$\mathbb{Z}\subset {\mathbb{Z}}_p$$

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