副有限群

定義

位相群 $G$が副有限群であるとは, poset(有向順序集合)$\Lambda$で添字付けられた有限群の集合

$$\{G_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Lambda }$$

が存在して,

$$G{\stackrel{\lim }{\leftarrow }}_{\lambda \in \Lambda }{G}_{\lambda }$$

となることを言う($G_{\lambda }$は離散位相,$G$は自然に誘導される位相)$G$:群,$N⊴G$のとき,

$$\stackrel{\lim }{\leftarrow }G/N$$

はコンパクト群(profinite完備化)

例

$$\hat{Z}:=\stackrel{\lim }{\leftarrow }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(n\mathbb{Z}⊴\mathbb{Z})$$

はコンパクトな位相環, 加法群はprofinite群

定理

$G$を 位相群 とすると以下は同値.

• $G$は副有限群 $G$ の位相はコンパクト, ハウスドルフ
• $G$の正規開部分群らが$1_G$の周りの基本開近傍系を与える$G$の位相はコンパクト,ハウスドルフかつ全不連結

例

有限群は離散位相に関して射有限であるp進整数全体の成す加法群 ${\mathbb{Z}}_p$は射有限