体

algebla

定義

可換環 に加え

$${}^{\forall }a(a\ne 0),{}^{\exists }{a}^{-1}$$

定義(体準同型)

$K_1,K_2$ 体, $\varphi :K_1\to K_2$ が体準同型とは,

1. ${}^{\forall }a,b\in K_1$, $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
2. ${}^{\forall }a,b\in K_1$, $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
3. $\varphi (1_{K_1)}=1_{K_2}$

準同型 + 全単射 = 同型, $K_1\stackrel{\sim }{\to }{K}_2$

命題

$q=p^n$ $q$ 個の元からなる体 $\cong {\mathbb{F}}_q$

証明

$n\ge 2$ について考える

• ${}^{\forall }K(|K|=q),{\mathbb{F}}_p⊊K$ で $K$ の元がすべて $x^q-x$ ( typo =0?) を満たせば良い

$K$ の 標数 は$p$, $p<q$ より, ${\mathbb{F}}_p⊊K$ todo .
各 $\alpha \in K^{\times }$ の位数を考えると ラグランジュの定理 より, $q-1$ で割り切れ, ${\alpha }^{q-1}=1$
よって, ${}^{\forall }\alpha \in K$ は $x^q-x$ の根.
同型,

$$\begin{array}{rl}K& \stackrel{\sim }{\to }{\mathbb{F}}_q\\ K\backslash {\mathbb{F}}_p& \to \text{対応する多項式}\end{array}$$

例

${\mathbb{F}}_5[\sqrt{3}]$ での $x^2-2$ の根は $x=\pm 2\sqrt{3}$ より,

• $2\mapsto 2\sqrt{3}$ として, ${\mathbb{F}}_5[\sqrt{2}]\stackrel{\sim }{\to }{\mathbb{F}}_5[\sqrt{3}]$
• $2\mapsto 3(X-1)$ として, ${\mathbb{F}}_5[\sqrt{2}]\stackrel{\sim }{\to }{\mathbb{F}}_{5^2}$

todo

命題

体上準同型は単射, 素体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の自己同型 は $\mathrm{id}$ のみ

証明

• ${}^{\forall }\varphi :K_1\to K_2$ で $\varphi (x)=0\Rightarrow x=0$ をしめす

$x\ne 0,\varphi (x)=0$ な $x\in K_1$ を仮定すると,
$0=0\cdot \varphi (x^{-1})=\varphi (x)\cdot \varphi (x^{-1})=\varphi (1)=1$ だが, $K_1=\{0\}$ を意味しており, $0\ne x\in K_1$ と矛盾

命題

${\mathbb{F}}_{p^n}$ 上の フロベニウス写像 ${\mathrm{Fr}}_{p:}{\mathbb{F}}_{p^n}\to {\mathbb{F}}_{p^n}$ は ${\mathbb{F}}_{p^n}$ の非自明な自己同型.

証明

$0<r<p^{n,}p\mid p^{n}Cr$ より二項定理で

• $1^{p^n}=1$
• $(a+b{)}^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$
• $(a\cdot b{)}^{p^n}=a^{p^n}\cdot b^{p^n}$

命題

$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q)$ は$n$ 次巡回群.

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_{q)}& \stackrel{\sim }{\to }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\\ {\mathrm{Fr}}_q& \mapsto 1\end{array}$$

証明

todo

$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_{q)}=\{\mathrm{id},{\mathrm{Fr}}_q,{\mathrm{Fr}}_q^2\cdots ,\}\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

例

体拡大 ${\mathbb{F}}_5(\sqrt{2})/{\mathbb{F}}_5$ の ガロア群 は, ${\mathbb{F}}_5:\sqrt{2}\mapsto {\sqrt{2}}^5=-\sqrt{2}$ で生成.

一般化,

定理

${\mathbb{F}}_q$ の 絶対Galois群 $\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_q}/{\mathbb{F}}_q)$ は,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_q}/{\mathbb{F}}_q)& \stackrel{\sim }{\to }\hat{\mathbb{Z}}\\ {\mathrm{Fr}}_q& \mapsto 1\end{array}$$

• $\hat{\mathbb{Z}}$: 副有限群 > 例