正規拡大

定義

$K\subset L,K\subset M$,

$${\mathrm{Hom}}_K(L,M):=\{h:L\to M\mid f{|}_k=\mathrm{id}\}$$

定義

$\sigma :K\to \Omega$:体埋め込み,$L/K$が正規拡大であるとは,

$${}^{\forall }f\in {\mathrm{Hom}}_{K,\sigma }(L,\Omega ),f(\forall \in L)\in \Omega$$

$K\subset L$の任意の元の$L$上最小多項式のすべての根が$\in K$の時$Q$上正規(ref: 『ガロア理論の頂を踏む』)
最小分解体は正規性 持っている.

例

$$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$$

は正規拡大($\because \sqrt{2}$の共役元は

$$\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$$

)

$$\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]/\mathbb{Q}$$

は正規拡大でない

$$\because \omega \sqrt[3]{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$$