フロベニウス写像

定義

フロベニウス写像 $F$

$$F:{\mathbb{F}}_{p^e}{\to }^{{\cong }^F}{\mathbb{F}}_{p^e}$$

$x\mapsto x^p$は体同型($\therefore$全単射).

性質

体${\mathbb{F}}_{p^e}$($p$: 素数,$e$: 自然数) の元を$p$乗する写像は$\mathrm{Aut}$になる.

余談

整数論では,

$$y^2+x^2(x+1)=0(x,y\in {\mathbb{F}}_{p^e})$$

の解はいくつあるかなどがコホモロジー群を用いて考えられている (ヴァイユ予想). その後ドリーニュがエタールコホモロジー を用いて解決し定理になったらしい

参考文献

@misc{frob_map_visualize,
    title        = {フロベニウス写像視覚化},
    howpublished = {\url{http://www.math.tohoku.ac.jp/~yasuda/Frobenius/Frobenius.html}}
}