加群

お気持ち

環の外部構造.
現実では数は単位を伴うことが多い(ex. 40km/h * 2h = 80km)
長さの80には足し算と定数倍が考えられるが, 積は面積になってしまうので定義できない.
このような環の構造を反映した世界について調べるのも重要.

定義

$A$ :環, アーベル群 $(M, +)$ とスカラ倍で

$a \in A, x, y \in M, a (x + y) = a x + a y$
$a, b \in A, x \in M, (a + b) x = a x + b x$
$a, b \in A, x \in M, (ab) x = a (b x)$

$x \in M, 1 x = x$ を満たすものを左A加群という.
右から $x a$ なら右~.
A: 可換環ならA加群
$A -mod$ :左 $A$ 加群の圏

例

$A$ : 環, 集合 ${0}$ に

加法: $0 + 0 = 0$
スカラ倍: $a \in A, a 0 = 0$

とすると ${0}$ は加群となり(零加群), $0$ とかく
$A$ が体のとき, $A$ 加群はベクトル空間となる(ベクトル空間の一般化).

ベクトル空間は体上の加群

準同型

2つの $R$ -加群 $M, N$ , 写像 $f : M \to N$ が準同型であるとは,

$f (m_{1} + m_{2}) = f (m_{1}) + f (m_{2})$
$f (r \cdot m) = r \cdot f (m)$

また, $f : M \to N$ に対し,

(核) $Ker f := {m ∣ f (m) = 0} \subset M$
(像) $Im f := {f (m) ∣ m \in M} \subset N$
$Ker f = {0}$ のとき, $f$ 単射
$Im f = N$ のとき, $f$ 全射
単射 + 全射 = 全単射

$f$ : 全単射の時, $M$ と $N$ は同型で $M ≅ N$

両者は同じ構造を持ち区別できない

部分加群

$R$ -加群 $M$ の部分集合が $M$ の演算で $R$ -加群になるとき,部分加群

ex. 環 $R$ の $R$ -加群として部分加群はイデアル

商加群

環に対して, 剰余環を考えたように, 加群に対しても部分加群 $N \subset M$ に対し, 差が $N$ になるのをまとめて,

M / N := {a + N ∣ a \in M}

を考えると, 自明な $R$ -加群の構造を持つ. これを商加群という.

準同型定理

$f : M \to N$ を $R$ -加群間の準同型とすると,

M / Ker f ≅ Im f

が成立.
特に同型 $\overset{ˉ}{f} : M / Ker f \to Im f$ は $m + Ker f \mapsto f (m)$ により与えられる.

証明

$M$ の元のうち0に飛ぶ元を0と思い, $N$ のうち $f$ の行き先だけを考えているので当たり前.

加群の系列

$R$ -加群 $M_{i}$ , 準同型 $f_{i} : M_{i} \to M_{i + 1}$ で,

\dots \to M_{i} \to f_{i} M_{i + 1} \to f_{i + 1} M_{i + 2} \to \dots

を加群の系列という. この系列が完全であるとは, $Im f_{i} = Ker f_{i + 1}$ が常に成り立つことを言う.

例

$f$ が単射 $\Leftrightarrow$ $0 \to M \to f N$ が完全
$f$ が全射 $\Leftrightarrow$ $M \to f N \to 0$ が完全
準同型定理は $0 \to Ker f \to M \to f N \to N / Im f \to 0$ を意味している.
余核(cokernel) $Cok f := N / Im f$
余像(coimage) $Coim f := M / Ker f$

完全列
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