加群の直和とHom加群

問題

可換環 $A$, $M,L_t(1\le t\le s)$ を A加群,

$${\mathrm{Hom}}_A(\underset{t=1}{\overset{s}{⨁}}{L}_t,M)\cong \underset{t=1}{\overset{s}{⨁}}{\mathrm{Hom}}_A(L_t,M)$$

を示せ.

• ${\mathrm{Hom}}_A(S,T)$: $A$ 線形写像 $:S\to T$ の全体=加群から加群を作る操作
  • これはA加群 になる (${}^{\forall }f,g,(f+g)(x)=f(x)+g(x),(af)(x)=f(ax)$)
• $L^{\ast }:={\mathrm{Hom}}_A(L,M)$

直和のHom加群はHom加群の直和と同型

各 $L_u$ は ${⨁}_{t=1}^s{L}_t$ の部分加群だと見做せる.

$$L_u\cong \{(0,\cdots ,\stackrel{u}{x}\cdots ,0)\subset \underset{t=1}{\overset{s}{⨁}}{L}_t\mid x\in L_u\}$$

写像 $x\in L_u\to ⨁L_t\ni (\cdots ,x,\cdots )$ を考えることでこれを束ねる.

この時,

圏との関連

• 加群から加群を作る操作
• 線形写像から線形写像を作る操作
  が良い性質を持っている(分裂補題)

定義

A線形写像 $f:X\to Y$ に対して,

1. $f$ が 分裂単射(split mono) であるとは ${}^{\exists }g:Y\to X,(g\circ f=1_X)$
2. $f$ が 分裂全射 (split epi) であるとは ${}^{\exists }g:Y\to X(f\circ g=1_Y)$

各々において, $g$ を $f$ の splitting という.

定理

A加群の 完全列

$$0\to L\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{i}{\hookrightarrow }}{\underset{q}{\leftarrow }}M\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{p}{\twoheadrightarrow }}{\underset{j}{\leftarrow }}N\to 0$$

に対して, $i$ が 分裂単射 $\iff$ $p$ が 分裂全射

• $q,j$ どっちかがあれば他方も存在
• 分裂単射の splitting は分裂全射
• 証明のあらすじ:
  $M\cong L\oplus N$

証明

https://youtu.be/uToCYM71KRw?t=1225

参考文献

• 龍孫江 - 環論：加群の直和とHom加群 - YouTube
• rhidetoのblog : 例11. 分裂する短完全列 (1/2)