体拡大

math

お気持ち

複素数の演算は

1. $i$ は変数として計算し $\to \mathbb{R}[x]$
2. $i^2$ があったら $-1$ に置き換え $\to X^2+1=0$

よって, $\mathbb{C}$ と $\mathbb{R}[x]/(X^2+1)$ は $X=i$ とすると同じ体を表している.

命題

$F\in {\mathbb{F}}_p[x]$ ($F$: n次既約方程式), ${\mathbb{F}}_p[x]/(F)$ は体

• 線形空間としては ${\mathbb{F}}_{p[x]/(F)}\cong {\mathbb{F}}_{p^n}:={\mathbb{F}}_p[x]/(X^q-X)$ となる todo

例

$X^{12}+1=0,X^6+1=0,X^3+1=0,X+1=0$ は ${\mathbb{F}}_5$ に解を持つので, ${\mathbb{F}}_{5^2}={\mathbb{F}}_5[X]/(X^2+X+1)$ todo

• $X^{25}-X=(X^{12}+1)(X^6+1)(X^3+1)(X+1)(X^3-X^2+X-2)$

命題

${\mathbb{F}}_{p^m}\subset {\mathbb{F}}_{p^n}\iff m\mid n$

$x^{p^m}-x$ の根が, $x^{p^n}$ の根でもある

証明

todo

上の定理を一般化

定理

${\zeta }_{p^{n-1}}\in \overline{{\mathbb{F}}_p}$ は 1の原始 $p$ 乗根, ${}^{\forall }n\in \mathbb{N}$, ${\mathbb{F}}_{p^n}={\mathbb{F}}_p({\zeta }_{p^n-1})$

$$\overline{{\mathbb{F}}_p}=\bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{F}}_{p^n}=\bigcup _{p\mid n}{\mathbb{F}}_p({\zeta }_m)$$

証明

todo

参考文献

• 『耐量子暗号入門』 読書メモ