Functor / Applicative / Monad 階層

Herding Cats で扱う、関数型プログラミングの中核となる型クラスの抽象化階層。「同じ問題を解けるならより仮定が少ない方が elegant」という原則のもと、F[_](エフェクト)を段階的に強くしていく。

Functor

• 「全体を写せる」型クラス。map[A,B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]。
• 関数の合成 (*3) . (+100) と fmap が一致する。lift で a -> b を F[a] -> F[b] に持ち上げる。
• Functor 則: map(id) == id、map(f).map(g) == map(f andThen g)。

Applicative

• Functor より強い。Semigroupal/product(F[A],F[B] → F[(A,B)])→ Apply/ap(F[A=>B] を F[A] に適用)→ Applicative/pure(普通の値をエフェクトに格上げ)。
• pure (+) <*> Just 1 <*> Just 2 のように複数引数関数を文脈内で適用。pure (+) <*> は (+) <$> と同じ。
• 則: identity、homomorphism、interchange。パーザ開発(Parsec)から派生した抽象。

Monoid / Foldable と Monad

• Semigroup/Monoid があれば Foldable で畳み込める。foldMap は写像後に畳み込む。
• FlatMap/Monad は >>=(bind)で計算を連鎖させる。Just 2 >>= \x -> return (x+10)。

Scala の cats では型クラスを implicit で供給し、Haskell の Control.Applicative に対応する。圏論的背景は category-theory、隣接概念は typeclass-monoid-intro / effect-ts。関連: _moc-life-misc

Optics と Lens

Optics は不変データ構造への合成可能なアクセサの総称。Lens はその一種で、getter と setter（更新）を一つにまとめた「直積へのフォーカス」。Prism（直和へのフォーカス）、Iso、Traversal などが仲間で、Lens は Iso の特殊化とみなせる。

基本 Lens

最も素朴な定義は getter と updater の組:

data Lens s a = Lens
  { get    :: s -> a
  , update :: (a -> a) -> s -> s }

compose :: Lens b c -> Lens a b -> Lens a c で合成でき、fstL・sndL をネストして ((3,4),5) の深い位置を更新できる。

van Laarhoven 表現

実用ライブラリ（Haskell lens）では van Laarhoven lens が使われる。CPS（継続渡し）的に Functor で表現し、RankNTypes を必要とする。basic lens と van Laarhoven lens は圏同型の視点で結びつく。TypeScript では monocle-ts、関数型ユーティリティは fp-ts が提供する。

関連 FP 概念

• Traversable（畳み込み可能・走査可能な構造）、Recursion Schemes（catamorphism 等の再帰の抽象）も不変データ操作の道具立て。
• 効果やモナドの文脈はfunctor-applicative-monad・effect-ts。

関連

• 型表現はtype-theory-lambda-cube、実装言語はhaskell-ghc。
• _moc-lang-compilers

継続と代数的効果

計算の「効果」を制御・抽象化するための一連の概念。λ計算の継続を出発点に、代数的効果やモナドへ広がる。

継続と限定継続

• 継続 (continuation): ある時点での「残りの計算」を第一級の値として表したもの。引数渡しの方式（値呼び・参照呼び・名前呼び・必要呼び）や thunk（遅延値）と関連。
• 限定継続 (delimited continuation): 継続の範囲をデリミタで区切ったもの。shift/reset などで効果ハンドラを表現できる。

代数的効果 (Algebraic Effect)

「実行すると値が得られる」計算を型で表し、効果をハンドラで解釈する仕組み。Koka は代数的効果を言語機能として持つ。Scala の ZIO（ZIO[-R, +E, +A] ≈ R => Either[E, A]）や Kyo（A < S 形式で IO・Abort・Env を合成）が実用例で、Effect.gen(function*(){ yield* ... }) 風の do 記法で書ける。

モナドによる定式化

• Monad（State モナド等）、Free Monad、Kleisli 圏、Tagless Final（DSL を型クラスで抽象）も効果合成の道具。Scala の cats が代表ライブラリ。
• TypeScript の Effect TS など言語横断の系譜はeffect-tsに詳しい。

関連

• 型の土台はtype-theory-lambda-cube、関連 FP 抽象はfunctor-applicative-monad。
• 言語横断比較はeffect-ts。
• _moc-lang-compilers