生成位相

お気持ち

集合に位相をつくる方法の一つについて, 集合 $X$, 部分集合族$\mathcal{S}$がある(開集合系の公理 を満たすかは不明)今,$\mathcal{S}$に属する部分集合を開集合とする位相$\mathcal{O}$を作りたい. 自明に離散位相が見つかるが雑すぎるので,満たす位相の中で最も弱いもの(= 生成する位相) を作りたい.

定義

$\mathcal{S}$の生成する位相
${\mathcal{O}}_{\mathcal{S}}$とは${\mathcal{O}}_{\mathcal{S}}$は位相構造

$$\mathcal{S}\subset {\mathcal{O}}_{\mathcal{S}}$$

(最弱性): 別の位相${}^{\forall }\mathcal{O}$が

$$\mathcal{S}\subset \mathcal{O}\Rightarrow {\mathcal{O}}_{\mathcal{S}}\subset \mathcal{O}$$

定理

証明