有限体

$F_{p} := Z / p Z$ , p素数は和積閉じている => 体となる

補題

$K$ 体, $d$ 次方程式 $\in K [x]$ の解は高々 $d$ 個

環では成立しない
$x^{2} = 1 \in Z /8 Z [x]$ のとき, $x = 1, 3, 5, 7$

有限体 $K$ , $K^{\times} := K \ {0}$ は巡回群.
つまり, $F_{p^{\times}} ≅ Z / (p - 1) Z$

$F_{41}^{\times} ≅ Z /40 Z$

$K$ 有限個からなる体, このとき $K \supset F_{p}$ , 要素数 $p$ の体は本質的に1つ

$^{\forall} F_{p}$ で標数が素数
$p$ が素数でないとき, $p = p_{1} \cdot p_{2}$
このとき, $0 = p \cdot 1 = (p_{1} \cdot 1) (p_{2} \cdot 1)$ , $p_{1}$ は逆元持つので $0 = p^{- 1} (p_{1} \cdot 1) (p_{2} \cdot 1) = p_{2} \cdot 1$ は $p$ の最小性に矛盾.
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