Zornの補題

定理

Zorn集合 $X$ には極大元が存在する

Zorn集合 $(X, ≼)$
$M$ : $X$ の全順序部分集合全部集めたもの
$M$ は非空集合で包含関係より, $(M, \subset)$

$N$ : ( $M, \subset$ ) の全順序部分集合であれば, $⋃ N \in N$

$A \in M$ , $A$ の上界集合

U (A) := {u \in X ∣^{\forall} a \in A [a ≼ u]}

とすると, $U (A) \subset A$ であれば, $U (A)$ のすべての元は $X$ の極大元, これは存在する.

Zorn集合であって極大元をもたないものを考えて矛盾を導くことによって証明.