環

お気持ち

足し算と掛け算が定められた世界.

定義

$(R,+,\cdot ,0,1)$ について,

組 $(R,+,0)$ は

• (和の結合性): $(a+b)+c=a+(b+c)$
• (和の単位元): $a+0=a$
• (和の逆元の存在): $a+(-a)=(-a)+a=0$
• (和の交換性): $a+b=b+a$

組 $(R,\cdot ,1)$ は

• (積の結合性): $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• (積の単位元): $a\cdot 1=1\cdot a=1$
• (積の交換性): $a\cdot b=b\cdot a$
• (分配法則)

例

• $(0,+,\cdot ,0,0)$ 零環
• $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}$
• $\mathbb{R}[x],{}^{\forall }x\in X\subset [0,1]$

参考文献

• 1.環とイデアル - arXiv探訪