準同型定理

algebla

th

$$f:G\stackrel{\simeq }{\to }{G}^{\prime }$$

とする.\mathrm{Im} f \subset G^\prime$$\ker f \unlhd G

proof

$$\ker f\subset G,n\in \ker f,x\in G$$

f(xnx^{-1}) = e^\prime$$\therefore xnx^{-1} \in \ker f

th. (第一群準同型定理)

N \unlhd G$$\bar{f}: G/\ker f \to G^\prime$$xN \mapsto f(x)より$G/\ker f\simeq \mathrm{im}f$

proof

well-definedness, 準同型性, 全射, 単射を示せばよい.

• $\bar{f}$の well-definedness

$$N=\ker f,xN=yN\Rightarrow y^{-1}x\in N=\ker f$$ $$e^{\prime }=f(y^{-1}x)=f(y{)}^{-1}f(x),f(y)=f(x)$$

• 準同型性

$$\bar{f}(xNyN)=\bar{f}(xyN)=f(xy)=f(x)f(y)=\bar{f}(xN)\bar{f}(yN)$$

• 単射

$$xN\in \ker \bar{f}\iff e^{\prime }=f(xN)=f(x)$$ $$\iff x\in \ker f=N$$

$\iff xN=eN$

$$\therefore \ker \bar{f}=\{eN\}$$

• 全射

$${}^{\forall }f(x)\in \mathrm{im}f,f(x)=\bar{f}(xN)\in \mathrm{im}\bar{f}$$ $$\therefore \mathrm{im}\bar{f}=\mathrm{im}f$$

より全射

ex.

$$z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\stackrel{\simeq }{\to }{\mathbb{R}}^{\ast }\ni f(z)=|z|$$

ただし

$${\mathbb{C}}^{\ast }:=\mathbb{C}\backslash \{0\}$$

とすると,

$$e_{{\mathbb{R}}^{\ast }}=1,\ker f=\cos \theta +i\sin \theta$$

ここで

$$T:=\{z\mid |z|=1,z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\}$$

とすると

$${\mathbb{C}}^{\ast }/T\simeq {\mathbb{C}}^{\ast }/\{e\}$$ $$K[t]/\ker S\alpha \stackrel{h}{\to }K[\alpha ]$$

$t\mapsto \alpha$

参考文献

@misc{hom_ex,
    author       = {},
    title        = {物理のかぎしっぽ 準同型定理の例},
    howpublished = {\url{http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic3/}},
    year         = {}
}