多項式環の素イデアルと極大イデアル

$k$: 体,$R:k[X_1,\cdots X_n$]

命題

$$W\subset {\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^n(\ne \varnothing )$$

1.$W$は一点からなる集合2.$I(W)$は極大イデアル

証明

((1)$\Rightarrow$(2))$W:=\{P\}$とする,$I(W)\ne R$今,$\phi \in R$について,

$$\phi \in I(W)\iff \phi (P)=0$$

$J$: イデアル,$J⊋I(W)$

$${}^{\exists }f\in J\setminus I(W),f(P)=c\ne 0,g:=f-c$$

$g(p)=f(p)-c=0$より,$c\in J$

$$1=(\frac{1}{c})\cdot c\in J\therefore J=R$$

$I(W)$は極大イデアル((2)$\Rightarrow$(1)) の対偶$W$二点以上とする,$Q\in W$とし,$W^{\prime }=Q$とすると

$$W\supset W^{\prime }\therefore I(W)\subset I(W^{\prime })$$

また,$W\ne W^{\prime }$より,$I(W)\ne I(W^{\prime })\ne R$より

$$I(W)⊊I(W^{\prime })⊊R$$

より$I(W)$は極大イデアルでない