圏

定義

圏$\mathcal{C}$は対象$\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$と射$\mathrm{Mor}(\mathcal{C})$からなる.各射$f$には始域(ドメイン)$\mathrm{dom}f$と終域(コドメイン)$\mathrm{cod}f$が一つある各対象には 恒等射$1_A$がただ一つある

$$a,c\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$$

に対して

$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(a,b):=\{f\in \mathrm{Mor}(\mathcal{C})\mid f:a\to b\}$$

例

• $\mathbf{Set}$: 写像と集合のなす圏
• $\mathbf{Grp}$: 群と群同型射のなす圏
• $\mathbf{Top}$: 位相空間と連続写像のなす圏
• 空圏$\mathcal{C}$:

$$\mathrm{Ob}(\mathcal{C})=\mathrm{Mor}(\mathcal{C})=\varphi$$

• $1$: 1つの対象$\ast$と恒等射$i{d}_{\ast }$からなる圏
• $2$: 2つの対象$a,b$と恒等射と射$f:a\to b$からなる
• $\mathbf{Cat}$: 圏と射のなす圏