剰余環

お気持ち

余りが等しくなる数 $0+6\mathbb{Z},\cdots ,5+6\mathbb{Z}$ 同士で足し算や掛け算が出来るので環構造を持つ.
$I$ を0だと思う.

定義

差が イデアル $I$ に属するものをまとめた $a+I$ 全体

$$R/I:=\{a+I\mid a\in R\}$$

に自然な環構造

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$
• $(a+I)(b+I)=ab+I$
  を定めることが出来, これを $R$ の $I$ による剰余環と呼ぶ.

定理

イデアル対応定理

$R$: 環, $I$: イデアル のとき,
$I$ を含む $R$ のイデアルと $R/I$ のイデアルは1対1に対応する.

$I\subset J$ なイデアル $J$ に対して, $\Phi (H):=\{a+I\mid a\in J\}$ が対応して,
$R/I$ のイデアル $\bar{K}$ に対して, $\Psi (\bar{K}):=\{a\in R\mid a+I\in \bar{K}\}$ が対応する.

証明

$\Phi (J),\Psi (\bar{K})$ がイデアル, $\Psi (\Phi (J))=J,\Phi (\Psi (\bar{K}))=\bar{K}$ を示す.

お気持ち

この対応は包含関係をもつ. $J_1\subset J_2⟹\Phi (J_1)\subset \Phi (J_2)$ ($\Psi$ も同様)

$R$ のイデアル全体を $\mathcal{I}(R)$ とする.

環の内部構造を簡約化して部分的に調べることが出来る.

参考文献

• 1.環とイデアル - arXiv探訪