『ガロア理論の頂を踏む』

@book{galois_top,
	title  = {{ガロア理論の頂を踏む}},
    author = {{石井俊全}},
    year   = {2013}
}

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中国剰余定理

2020-07-22

$p,q$ を互いに素な自然数とする。

$a,b\in \mathbb{Z}$ で $0\le a<p$, $0\le b<q$ に従う整数 $x$ が存在して、

$$x\equiv a(\mathrm{mod}p),x\equiv b(\mathrm{mod}q)$$

注意点

今 $x$ と同じ数とみなせる $x’$ を考える。

$$x\equiv a(\mathrm{mod}p),x\equiv b(\mathrm{mod}q)$$

より、

$$p\mid (x-a),q\mid (x-b)$$

$p$, $q$ が互いに素ならば、

$$pq\mid (x-a)p+(x-b)q$$

よって、$x$ は存在するが、
$0 \leq x < pq$ の範囲に絞る必要があるので注意。
このような $x$ は 一意 に定まる。

---

（注意：互いに素でない場合）

このとき、$p$, $q$ の最小公倍数が小さくなるため、$x$ が一意に定まらない。

例：

• $p = q = 2$
• $a = b = 0$

のとき、

$$0\le x<4\text{かつ}x\equiv 0(\mathrm{mod}2)$$

を満たす $x$ は $0$, $2$ の2つあり、一意でない。

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環の同型写像

$$\phi :\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}⟶(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$$ $$\bar{a}⟼({\bar{a}}_p,{\bar{a}}_q)\text{ただし }{\bar{a}}_p:=a\mathrm{mod}p,{\bar{a}}_q:=a\mathrm{mod}q$$

この写像は単射であり、全射でもある。
つまり、有効かつ位数が一致する全射 ⇒ 同型写像。

したがって、

$$\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$$

中国剰余定理

$m, n \ne 0$ が互いに素な整数なら、

$$\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$

---

証明

写像 $\phi :\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ を以下で定める：

$$x+mn\mathbb{Z}⟼(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})$$

well-defined を確認

• $\forall a\in x+mn\mathbb{Z}$
• $\forall b\in x+mn\mathbb{Z}$

$$\begin{gathered} a=x+\alpha \cdot mn \\ b=x+\beta \cdot mn \end{gathered}$$

このとき：

$$\begin{gathered} a\equiv x(\mathrm{mod}m),b\equiv x(\mathrm{mod}m) \\ a\equiv x(\mathrm{mod}n),b\equiv x(\mathrm{mod}n) \end{gathered}$$

よって、well-defined である。

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写像の加法に関する準同型性

$$\phi ((x+y)+mn\mathbb{Z})=\left((x+y)+m\mathbb{Z},(x+y)+n\mathbb{Z}\right)$$ $$=(x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z},y+n\mathbb{Z})$$ $$=\phi (x+mn\mathbb{Z})+\phi (y+mn\mathbb{Z})$$

全射であるか

$m$ と $n$ は互いに素であるから、

$$ma+nb=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

を満たす $a,b\in \mathbb{Z}$ が存在する。

x, y \in \mathbb{Z}\ に対して、$z \in \mathbb{Z}$ を以下で定義する：

$$z=may+nbx\text{\hspace{1em}(2)}$$

すると、

$$z=mab+(1-ma)x=ma(b-x)+x$$

また別の形で：

$$\begin{gathered} z=may+nbx \\ =(1-nb)x+nbx \\ =x+(nb-x) \end{gathered}$$

よって、

$$\phi (z+mn\mathbb{Z})=(x+m\mathbb{Z},y+n\mathbb{Z})$$

したがって、任意の $(x+m\mathbb{Z},y+n\mathbb{Z})$ に対して対応する $z$ が構成できるので、$\phi$ は全射である。

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位数の一致による結論

$$|\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}|\times |\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|$$

全射であり、かつ位数が等しい ⇒ $\varphi$ は全単射（同型）。

規約剰余類群は巡回群の直積と同型

2020-07-26

次の群の同型が成立するか考える：

$$(\mathbb{Z}/(2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/2^3\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/3^4\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5^2\mathbb{Z}{)}^{\times }$$

写像の定義

$$\phi :\mathbb{Z}/(2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/2^3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3^4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5^2\mathbb{Z}$$ $$\bar{a}⟼({\bar{a}}_2,{\bar{a}}_3,{\bar{a}}_5)\text{ただし }{\bar{a}}_p:=a\mathrm{mod}p$$

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規約剰余類群とは：

$$(\mathbb{Z}/(2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)\mathbb{Z}{)}^{\times }=\left\{\bar{k}\mid \gcd (k,2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)=1,1\le k\le 2^3\cdot 3^4\cdot 5^2\right\}$$

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$\bar{a}\in (\mathbb{Z}/2^3\cdot 3^4\cdot 5^2\mathbb{Z}{)}^{\times }$ のとき、

$$(a,2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)=1$$

これより、次のような整数 $x,y$ が存在する：

$$\exists x,y\text{s.t.}ax+2^3\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot y=1$$

これを変形すると：

\begin{eqnarray} a x + 2 b &=& 1 \\ a x + 3 b &=& 1 \\ a x + 5 b &=& 1 \end{eqnarray}

（※上記は $2^3$, $3^4$, $5^2$ それぞれを法とした場合のイメージ）

このことから、$(\mathbb{Z}/(2^3\cdot 3^4\cdot 5^2)\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は $(\mathbb{Z}/2^3\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/3^4\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5^2\mathbb{Z}{)}^{\times }$ の直積と 群として同型 である。