Galoisの基本定理

お気持ち

$L/K$Galois拡大,中間体$M$に対し,$L/M$はGalois拡大$M$同型は$K$同型でもあるので

$$\mathrm{Gal}(L/M){\subset }^G\mathrm{Gal}(L/K)$$

G := \mathrm{Gal}(L/K)$$H :=\ \subset^G Gに対し,$L^H$は$M$に対応つく

$$H(M):=\sigma \in G\mid \sigma (y)=y(\forall y\in M)$$

は${\subset }^{G}G$に対応つく

定理

$G:=L/K$,$L/K$の中間体の全体を\mathcal{M}(L/K)$$\subset^G Gの全体を$\mathcal{H}(G)$とすると

$$\Phi :\mathcal{H}(G)\to \mathcal{M}(L/K)$$

H \mapsto L^H$$H(M) ↤ Mは包含関係を逆転する一対一対応を与える.