Chains of Recurrences

お気持ち

$G (x) = 3 x + 1$ で $x = x_{0}, x + 0 + h$ のときの値を知りたいときに, 別々に計算するよりも $G (x_{0}) = 3 x_{0} + 1$ を出したあとそれに $c = 3 h$ を足したほうが早い

定数 $ϕ_{0}$ 自然数上の関数 $f_{1}$ , 演算 $⊙$ は加算か乗算.
Basic Recurrence $f$ は

f := {ϕ_{0}, ⊙, f_{1}}

で, $f (i)$ は $N$ 上で

{ϕ_{0}, + / *, f_{1}} (i) = ϕ_{0} + / * j = 0 \sum i - 1 / j = 0 \prod i - 1 f_{1} (j)

$f = {3 x_{0} + 1, +, 3 h}$ ,
$f (i) = {3 x_{0} + 1, +, 3 h} (i) = G (x_{0} + ih) (G (x) = 3 x + 1)$
となり, $f (i - 1) ⊙ f_{1} (i - 1)$ であることに気づく