有限体の絶対Galois群

前置き

有限次Galois拡大

$$\Phi :\mathcal{H}(G)\to \mathcal{M}(L/K)$$

H \mapsto L^H$$H(M) ↤ Mこの時,$\Phi$は全単射(一対一対応) となる.$L/K$が無限次拡大でも同様に成り立つか? → No

反例

$$\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)$$

を考える

$$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{p^f}/{\mathbb{F}}_p){\to }^{\cong }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$

$\varphi \mapsto 1$($\varphi$はフロベニウス写像)

$$\Phi :\mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p){\to }^{{\cong }^G}\prod _{f\ge 1}\mathbb{Z}/f\mathbb{Z}$$ $$\sigma \mapsto (\sigma \mid {\mathbb{F}}_{p^f}{)}_f$$

を考える.$\Phi$は単射である.

$$\mathrm{Im}\Phi =\{(a_f{)}_f\in \prod \mathbb{Z}/f\mathbb{Z}\mid m\mid n\Rightarrow a_m\equiv a_n(\mathrm{mod}m)$$

$=\hat{\mathbb{Z}}$

$$\therefore \mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)\cong \hat{\mathbb{Z}}$$

ここで

$$\varphi \in \mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p)$$

で生成される部分群$\mathbb{Z}$による固定体は${\mathbb{F}}_p$, 一方$\hat{\mathbb{Z}}$でも${\mathbb{F}}_p$.ので単射でない.なので$\mathcal{H}$の方が多くなってしまうので一対一対応できない?→Krull位相を入れ,閉部分群を作ると一対一対応できる.

定理

$L/K$:無限次ガロア拡大,$\mathrm{Gal}(L/K)$はKrull位相により位相群とみなしたとき,$\mathcal{M}$と$\mathcal{H}$の間に全単射が存在.