加群の直積

定義

$A$ 加群族 $(M_{\lambda }{)}_{\lambda \in \Lambda }$, $(M_{\lambda })$ の直積(product) とは,

加群 ${\prod }_{\lambda \in \Lambda }{M}_{\lambda }$, ${}^{\forall }\lambda \in \Lambda$ での準同型の族 $p_{\lambda }:\prod M_{\lambda }\to M_{\lambda }$ の組 $(\prod M_{\lambda },p_{\lambda })$ で, 任意の$A$加群 $N$ に対し,

A準同型 $q_{\lambda }:N\to M_{\lambda }$ に対し, A準同型 $f:N\to \prod M_{\lambda }$ で ${}^{\exists 1}f\circ p_{\lambda }=q_{\lambda }$

• $p_{\lambda }$ は 自然な射影, 標準的射影 と呼ばれる.
• 有限直積は $\times$ で書く
• 全ての $M_{\lambda }$ が A加群 $M$ の時は $M^{\Lambda }$ とかく, 特に $\Lambda =\{1\cdots n\}$ のとき $M^n$

関連

• 双対 は 加群の直和

参考文献

• 加群について 2.3 - 千葉大