エタールコホモロジー

alg-geo cohomology

お気持ち

• ヴァイユ予想 を証明するための道具
• ヴァイユコホモロジー の一種である l進コホモロジー を構成する枠組みを与える

定義

任意の スキーム $X$ に対して, エタール射 $u:A\to X$ 全体からなる 圏 を $Et(X)$ とする.
これは, 位相空間 $S$ の開部分集合の圏 $Top(S)$ の類似で,
開埋め込み射 -> エタール射 に置き換えたもの
この時, Zariski位相 の埋め込み射よりエタール射 の方が数が多くなっているので細かい位相.
この位相を用いて $Et(X)$ 上に 層 = エタール層, 前層 = エタール前層 を定義できる.
$Et(X)$ 上の層の成す圏は アーベル圏 で, エタール層 $\mathcal{F}$ に対して コホモロジー $H^i(X,\mathcal{F})$ の存在, 一意性が証明される. これがエタールコホモロジー.

例

• $H^0(X,Gm)=k^{\ast }$
• $H^1(X,Gm)=Pic(X)$
  • ピカール群